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Algebra Lineal

Aclaraciones y Reconocimientos

Esta obra comenzó a gestarse en 1975, cuando era director del plan de matemáticas de la Facultad de Ciencias en la Universidad del Valle en Cali, Colombia.

 

Al reasumir mi labor docente en 1999, después de 25 años de receso y dedicación a diferentes actividades no docentes, algunas relacionadas con la educación, las más con el mercadeo, encontré que no se han efectuado cambios sustanciales en el currículo de matemáticas y en especial en el contenido de los cursos de álgebra lineal, en los últimos 30 años.

 

Pareciera que la influencia de los computadores digitales, y el avance y disminución relativa de precios de las calculadoras científicas y graficadoras ha influido poco en las actividades docentes.

 

Ahora más que nunca las actividades del hombre giran alrededor de la planeación y el diseño. La frontera entre las disciplinas se va rompiendo. Por ello la educación debe propender porque el educando sepa lograr diversos objetivos manejando información y conceptos básicos y avanzados. No es posible saber ni que tipo de problemas deberá resolver en su labor profesional ni con cuáles herramientas contará, dada la diversidad  y vertiginoso desarrollo de las disciplinas y realizaciones del hombre que giran alrededor de las matemáticas, lo que sí es seguro es que es necesario desarrollar su capacidad de razonamiento independiente..

 

No es el conocimiento de la definición, ni el conocimiento de la fórmula lo que garantiza el éxito profesional, sino la capacidad para manejar la información y aplicarla en un contexto, quizás interdisciplinario, para responder a situaciones diversas.

 

Hay una discusión abierta y un clamor respecto a que deben incorporarse las nuevas tecnologías en la relación maestro-estudiante. Impedir la utilización de las calculadoras en los salones donde se enseña matemáticas bajo la excusa de que los estudiantes no aprenderán a trabajar sin ellas, cierra el mundo al salón de clase. Me parece equivalente a estar encendiendo fuego, frotando palos y arcos como lo hicieron los antiguos aborígenes, quienes ahora, si están a su alcance, utilizan fósforos, petróleo, y gas, entre otros adelantos.

 

Lo que sucede es que el hombre debe aspirar ahora a nuevos estadios y su formación y experiencias educativas deben adecuarse a los tiempos. Favorezco la enseñanza de las matemáticas, a partir de ciertos niveles de primaria, integrando calculadoras y computadores con software matemático y capacidad graficadora. También los exámenes a libro abierto, que son un reto para educadores y educandos ya que no se les preguntarán definiciones, sino descripciones conceptuales además de inducirlos a resolver problemas en donde las fórmulas, que están en los textos, son apenas auxiliares para la solución de los mismos.

 

Esta obra pretende acercar a los educandos con cierta celeridad a los conceptos básicos sobre matrices y sus casi infinitas aplicaciones en el mundo actual pensando mayormente en los estudiantes de ingeniería y todos aquellos que tengan que ver con computadores. Los conceptos mas sencillos del álgebra lineal tienen sorprendentes aplicaciones al cálculo, la solución de ecuaciones de todo tipo, los sistemas operativos de los computadores, los lenguajes de programación, la optimización, etc., etc., …, etc.

 

Quienes compartan las ideas que subyacen en el párrafo anterior, deberían estar de acuerdo conmigo en que en la época actual es imperioso, en vía de la brevedad, no abundar en todos los detalles, como se hace en la enseñanza clásica de las matemáticas. Que algunos deben ser obviados y dejados a los especialistas y deben ser trasladados a los estudiantes sin abundar en tediosas demostraciones que ocupan un tiempo  precioso, sin caer en excesos por supuesto.

 

Es necesario avanzar para cubrir tópicos diversos y relacionados. A ello nos obliga la afortunada diversidad de las matemáticas actuales y sus aplicaciones. Los educadores deben ser conscientes que hace ya bastante tiempo entramos a la era de la información y las telecomunicaciones y que la enseñanza de las matemáticas debe adecuarse a los tiempos.

 

 

Los capítulo 1 a 4 cubren tópicos casi comunes al bachillerato y el primer año, o semestre, universitario. Se pueden utilizar en la  primera parte de un curso universitario a cualquier nivel y en casi cualquier disciplina en la cual se utilicen las matrices. Cubren temas clásicos en matrices, operaciones , solución de sistemas de ecuaciones lineales y determinantes. Contienen aplicaciones a la solución de sistemas de ecuaciones lineales y a otros tópicos. Se enfatiza en las aplicaciones de la partición de matrices tema de singular importancia en diferentes situaciones.

 

Al presentar en mayor detalle la descomposición LU sentamos las bases de los algoritmos que utilizan los actuales computadores en paralelo. Los cuales justifican su diseño y existencia en tales tipos de algoritmos.

 

En el capítulo 5 se estudian los vectores en R2, R3 y Rn. y los conceptos de dependencia e independencia lineal, los subespacios y su dimensión geométrica. Incluye el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt y su aplicación a la solución de sistemas de ecuaciones por mínimos cuadrados.

 

El capítulo 6 trata sobre la aplicacion de “ la solución de sistemas de ecuaciones lineales por mínimos cuadrados”, comúnmente conocida como “Regresión Lineal”. El denso capítulo 7 comprende autovalores y autovectores. Estos temas tienen sorprendentes aplicaciones, algunas incluidas en el texto: los procesos de ortogonalización y los algoritmos de descomposición. Trata la descomposición QR y se enfatiza en la diagonalización de matrices por medio de transformaciones ortogonales y semejantes en el caso general. Se incluye además una asequible presentación de la descomposición de Jordan y la importancia teórico práctica de la diagonalización por bloques.

 

Este libro será complementado con temas sugeridos por estudiantes y profesores en la página Web del autor, parte del proyecto “Álgebra Lineal para Todos”:  abaco.com.ve

 

Reconocimientos

 

Los párrafos siguientes se dedican a reconocer los merecimientos de algunos de mis antiguos profesores y amigos y de las instituciones que me han brindado la oportunidad de ir desarrollando, no sólo mi espíritu, sino también este texto.

 

En una caricatura del genial Quino, aparecen las cabezas de numerosas personas que sobresalen de otras, en un recinto nublado en donde el aire puro sólo lo respiran quienes logran por lo menos sacar la nariz sobresaliendo de la nube gaseosa que cubre prácticamente todos los cuerpos. Uno de las cabezas le pregunta a otra por qué sobresale tanto y aquella le contesta: “eso depende de sobre quien estés parado”.

 

Desgraciadamente, muchos se paran sobre otros para sobresalir, mas tomaré la caricatura en un sentido que estoy seguro no es precisamente el que quiso transmitir Quino con su estética mordacidad.

 

Si siento que me haya superado en algo, con los años, debo reconocer que lo bueno se lo debo a quienes colaboraron, cada uno a su manera, en mi educación.

 

Lo que he aprendido para formarme como instructor y poder paladear la belleza de las matemáticas se lo debo a muchos profesores. Me prometí a mí mismo desde hace muchos años a citarlos como ejemplo de calidad y dedicación, en esta oportunidad.

 

En orden cronológico cito al ya fallecido profesor Ricardo Villegas en Cali, Colombia, quien hacia 1962 me enseñó por un año matemáticas y física en el penúltimo año de bachillerato en el colegio Villegas en Cali, Colombia. A partir de ese momento nació mi apego a la belleza del lenguaje de las matemáticas.

 

Siguiendo en dicho orden, siempre agradeceré la dedicación del Ingeniero Químico Guillermo Obando, quien hacia el año 1963 me enseñó los rudimentos de cálculo diferencial e integral en mi último año de bachillerato en el colegio oficial Gimnasio del Pacífico, en Tulúa, Valle, población cercana a Cali, en Colombia. Del profesor Obando recibí conocimientos e imagen de responsabilidad, y la mas alta calificación del grupo, además del libro de Cálculo de Granville, obsequio que aprecié en su especial significado, entregado en acto público en la misma ceremonia en que recibí mi título de bachiller. A veces las aparentemente pequeñas acciones tienen gran significado. Cuando ingresé a la Universidad del Cauca, en Popayán, a la carrera de Ingeniería Civil y cuando me trasladé a Bogota, al ser aceptado en la carrera de matemáticas en la Universidad Nacional de Colombia, cargaba todavía el para mí,  preciado libro.

 

Posteriormente, en la Universidad Nacional de Colombia, el matemático Rafael Suarez me indujo a continuar mis estudios de matemáticas, los cuales había abandonado para continuar la carrera de Ingeniería Civil. Como decían mis antiguos condiscípulos del primer año de matemáticas, en plan de mofa, al verme tomando mediciones en los terrenos de la universidad, había cambiado “la topología” por “la topografía”. Sin embargo este “paseo” por la facultad de Ingeniería influyó en el modo como quería aplicar mis conocimientos matemáticos, sin dejar de respetar, apreciar y saborear el “purismo”.

 

Mención especial merece el profesor Jairo Alvarez, quien dirigió el plan de matemáticas en el tiempo en que fui estudiante de pregrado en la Universidad del Valle, en Cali. Tanto su actitud hacia el desarrollo de los estudiantes, como la calidad de los cursos, en los cuales fue mi profesor estrella, merecen la más alta calificación. Posteriormente el profesor Alvarez, como directivo de la Universidad del Valle siempre mereció mi aprecio, y por ello procuro saber de sus ejecutorias continuamente.

 

En el postgrado en la universidad de Texas en Austin fui directamente influenciado por Robert Todd Gregory, ya fallecido, quien me acerco a los problemas del análisis numérico del “Problema del valor propio algebraico” como lo denominó Wilkinson y por James W. Daniel actual director del magíster en Ciencias Actuariales de dicha universidad., quien no sólo fue codirector de mi tesis de grado sobre “Localization theorems for eigenvalues”, bajo la dirección de R. T. Gregory. El profesor Daniel siempre me brindó un cálido trato durante mi período como estudiante graduado en  la universidad de Texas. Aún recuerdo su obsequio del libro “Non Linear Programming” de Mangasarian, el cual es, por supuesto, ya un clásico del tema.

 

Con la pretensión de reconocer virtudes no fáciles de encontrar en todos los seres humanos, agradezco la reciente respuesta, del ya citado profesor Jame W. Daniel y de G.W. Stewart de la Universidad de Maryland en College Park, a la pregunta que les sometí sobre los textos de álgebra lineal aplicada de uso actual en los pregrados en los  Estados Unidos que, como es lógico, aparecen incluidos en la bibliografía de este texto.

 

Al profesor Gilbert Strang del Instituto Tecnológico de Massachusetts le agradezco el obsequio que me hizo, con su rubrica personal de su libro “Introduction to Linear Álgebra” recientemente editado, el cual se cita en la bibliografía y que espero sea próximamente traducido al español.

 

Manifiesto mi reconocimiento a las siguientes instituciones con las cuales me he relacionado de alguna manera:

 

  1. La universidad Nacional de Colombia en Bogotá, en donde cursé mi primer año de matemáticas
  2. La universidad del Valle en Cali, Colombia, en la cual continué mi formación como matemático a   nivel de pregrado y en donde me gradué en 1970 y fui profesor y director del plan de estudios de matemáticas hasta mi retiro de la misma en 1977.
  • La Universidad de los Andes, en Mérida, Venezuela, la cual me invitó a vincularme como profesor brindándome la oportunidad de asentarme en Venezuela, donde ha transcurrido la mayor parte de mi vida. Por circunstancias personales no pude aceptar su ofrecimiento, ya que me radiqué en Maracaibo.
  1. La Universidad del Zulia, en Maracaibo, Venezuela, de la cual fui profesor por algunos años en el departamento de matemáticas de la facultad de Ciencias.
  2. La Universidad Rafael Urdaneta me brindó la oportunidad de dictar cursos de Álgebra Lineal hasta mi traslado hacia 1983 hacia la ciudad de Caracas, en donde me dediqué durante muchos años a actividades privadas, alejadas de la docencia.
  3. La Universidad Central del Valle, en Tulúa, Colombia, de la cual fui profesor de matemáticas y estadística en el segundo semestre del año 2000.
  • La Universidad Fermín Toro en Barquisimeto, Venezuela, la cual me invitó a dictar recientemente un curso de álgebra matricial aplicada a algunos de sus profesores de matemáticas y ha estado colaborando con mis proyectos actuales y en la cual he dictado algunos cursos.

 

Cabudare , Septiembre de 2004

“Pica como la abeja  y vuela como la mariposa…”

 

Cassius Clay

 

La enseñanza en contexto

 

La vida es un viaje. El viajero debe observar con cuidado los sucesos del día. La posterior reflexión sobre ellos y su significado le enriquecerá algún día. Para aprender para sí mismo y enseñar a otros.

 

La reflexión sobre una frase escuchada al memorable bocazas Mohamed Ali ha determinado para bien o para mal algunas de mis actuaciones. Procuro aplicarla cuando lo creo conveniente. En alguna etapa de mi vida determinó mi éxito como gerente de mercadeo. Otros, utilizando el método contrario también tuvieron éxito. Quizás el éxito no está en el método sino en quien lo ejecuta.

 

He aquí el resultado de algunas de las reflexiones a las cuales nos dedicamos los docentes.

 

El profesor Guillermo Restrepo, de la Universidad del Valle, en Cali, Colombia, en donde me inicié como profesor, en una reunión, hace ya “varios” años, dijo: “hay que crear las redes conceptuales”. Esa frase como la de Cassius Clay, no se me olvida. Siempre la aplico.

 

Se refería a que si el estudiante no tiene preconceptos o elementos con los cuales comparar e interpretar las nuevas realidades, su aprendizaje será más difícil.

 

Qué significa la guerra para los que nunca han pasado por ella? Y la paz para quienes no la han conocido?. Por supuesto algo significa, mas el significado depende de los preconceptos.

 

He ahí la importancia de la biodiversidad. Cada etnia, grupo social o agremiación, interpreta los eventos a su manera. Ello es necesario para producir movimiento. La no existencia de diversidad es equivalente a la muerte.

 

El instructor se enriquece de la interpretación que sus estudiantes dan a los temas y viceversa. Por qué?. Porque los preconceptos del que no conoce, son diferentes a los de quien conoce, o algo conoce.

 

Un asunto que se le escapa a un investigador experimentado puede ser reconocido por uno de sus estudiantes.

 

Sin embargo, en el salón de clase los elementos nuevos llegan al estudiante a alta velocidad sin darle tiempo a interpretar los nuevos conceptos. Es por ello que es importante enseñar en contexto.

 

 

 

 

 

Que es la enseñanza en contexto?. Que es contexto?…

 

Empecemos por encontrar una acepción adecuada a lo que queremos expresar.

 

Pequeño Larousse ilustrado, 1995…

…Hilo de una narración, una historia: el contexto permite adivinar los pasajes oscuros de un autor.

 

Oxford Learners Pocket Dictionary, 2002….

…1. Afirmación, frase, etc., en la cual aparece una palabra.

…2. Circunstancias en las cuales sucede un evento.

 

Webster’s Seventh New Collegiate Dictionary, 1971

…1. Las partes de un discurso que rodean una palabra o pasaje las cuales pueden arrojar luz sobre su significado.

 …2. Medio ambiente

 

La enseñanza se asemeja a un proceso de construcción. Por ello cuando hablo de “Álgebra Lineal en Contexto”, no me refiero a un texto de aplicaciones, sino en el cual se aplican los conceptos en un entorno reconocible por el estudiante.

 

Es importante que se construya poco a poco, utilizando el bagaje intelectual que trae el estudiante de cursos anteriores de álgebra, cálculo, si lo ha cursado, física, etc.

 

Por ello incluí ejemplos de descomposición de fuerzas en este texto. Quién no ha resuelto problemas de descomposición de fuerzas?. Que se le hayan olvidado, es otra cosa. Esa es la clase de aplicación, en un curso básico, a la cual me refiero.

 

Estas aplicaciones no resuelven necesariamente problemas prácticos o de la vida diaria. Solamente pretenden dar sentido a los nuevos conceptos. Posiblemente, la mayoría de los estudiantes no necesitarán este bagaje para triunfar en la vida. Mas sin embargo, se les hará menos pesado y mas agradable el aprendizaje.

 

Algunos podrían animarse a alcanzar etapas superiores estudiando aplicaciones prácticas de los métodos matriciales, o a profundizar en los métodos numéricos, inspirados en los sencillos ejemplos presentados en el texto. He ahí algunas de las razones por las cuales este texto se denomina “Introducción al Álgebra Lineal, en Contexto”, con más nombre que pretensión.

 

He hecho mi mejor esfuerzo para concatenar los temas. Si alguien considera que algo falta, tiene razón. Siempre falta algo. Ya se irá mejorando en próximas ediciones.

 

 

José Arturo Barreto Gutiérrez

 

Cabudare , Septiembre de 2004.

 

Prólogo

Motivación

Los seres humanos aprendemos de nuestras experiencias. La vida es un viaje. El viajero debe admirar el paisaje y aprender de los sucesos del día. Algunos le marcarán para bien. Los sucesos aún los más negativos tienen su parte positiva. El “Yin” y el “Yang”. El entorno que nos rodea influirá en nuestras vidas para siempre.

 

Cada viajero tiene su propia historia y posición ante los sucesos pasados y presentes. Nuestro punto de vista sobre el aprendizaje y la enseñanza, en el cual encontraremos entusiastas seguidores y también detractores, descansa en nuestras experiencias del pasado y se nutre de las inmensas posibilidades de comunicación del presente. Hoy en día el aprendizaje es tan diverso y viene de tan diversas fuentes que esperamos que nadie, menos nosotros, sea depositario de la verdad: la “única” verdad.

 

En esta obra pretendo contribuir a que los estudiantes se “asomen” al avance y desarrollo de las aplicaciones del álgebra lineal. Presentamos los rudimentos que según muchos autores, pueden ser comunicados y aprendidos sin mayor dificultad.

 

Al tratar de simplificar los temas, tomé algunas decisiones, algunas drásticas, respecto al orden, contenido y alcance de los temas.

 

Pese a lo natural que generalmente parece, y a lo que es usual, decidí no comenzar como tradicionalmente se hace con la solución de los sistemas de ecuaciones lineales y su relación con las matrices. Decidí aplicar un dicho que aprendí de mis progenitores: “dos cucharadas de caldo y mano a la presa”. Es decir : vamos a la sustancia.

Orientación y contenidos

Este texto de “Álgebra Lineal en Contexto” trata sobre las matrices y sus aplicaciones. Podría llamarse con mayor propiedad “Las Matrices y sus aplicaciones”, mas sin embargo el término no es tan popular ni ampliamente aceptado como muchos quisiéramos. Por lo tanto el capítulo 1 presenta directamente sin ninguna a las matrices y sus operaciones y justifica su importancia  con dos ejemplos: un problema de comunicaciones y las cadenas de Markov. No se anexan muchas de las aplicaciones elementales a la solución de problemas prácticos ya que en este capítulo no se desea enseñar aplicaciones, si no las matrices , sus operaciones y las propiedades de las mismas.

 

He tratado de aplicar el lema: “Si bueno y breve, dos veces bueno”.

 

En la bibliografía, estudiantes y profesores podrán encontrar excelentes textos y referencias para suplir todas las “deficiencias”, voluntarias o no, que esta obra presente.

 

La separación de problemas en subproblemas de menor dimensión, con paso de mensajes, tiene mucho que ver con la partición de matrices, la cual nos permite presentar además las bases de la descomposición LU, en el capítulo 2. Se aprovecha para presentar algoritmos iterativos de facil implementación en un computador.

 

Quien ha oido hablar de computadores “paralelos” con muchos procesadores, cuyo desarrollo avanza en sincronía con desarrollos matemáticos, reconoce la importancia de estos dos temas.

Sirva esto para invitar a quienes quieran actualizarse, a revisar los avances y modificaciones, para cursos avanzados o aplicaciones prácticas, de algoritmos existentes o nuevos, que utilizan las facilidades de los computadores en paralelo.

 

En el capítulo 3, aparece el tema que es el capítulo introductorio de muchos textos: solución de sistemas de ecuaciones lineales. Muchos interrogantes pueden quedar abiertos para el instructor al terminar este capítulo. Las relaciones entre rango y solubilidad, rango y forma escalonada, relación entre el sistema no homogéneo y el homogéneo asociado. El instructor que considere estos temas incompletos puede aportar a sus estudiantes material adicional en el momento que él lo considere necesario o conveniente. El centro de este capítulo es el método de Gauss.

 

En este capítulo podría hablarse brevemente a juicio del instructor, lo cual no se hace en el texto, de error por redondeo o truncamiento, conteo de operaciones, estabilidad y condición y presentar comparaciones sobre el costo y eficiencia de los métodos presentados.

 

También en este capítulo se elabora un poco más sobre la fundamental descomposición LU, cuya importancia teórico práctica es reconocida primordialmente por aquellos que trabajan en métodos numéricos, la casi totalidad de quienes trabajan en álgebra lineal aplicada; según la sociedad para la matemática aplicada a la industria, SIAM.

 

El capítulo 4 trata someramente la teoría de determinantes. El estudio del determinante como una función multilineal, a partir de la teoría de permutaciones, es sumamente atrayente para los matemáticos profesionales y aún puede sustituir parte de los temas presentados en este capítulo. Sin embargo he decidido optar por su desarrollo a través de menores y cofactores. Las demostraciones de los teoremas palabra que en esta obra obviamos, en lo posible,  tanto en singular como en plural, pese a su aparente sencillez, no están incluidas en este capítulo, en el cual se dan como verdades sin demostración alguna ya que:

 

  1. Esta obra no pretende demostrar todo lo que afirma.
  2. La brevedad de un semestre universitario nos obliga a sacrificar la profundidad de algunos temas para poder incluir otros tales como bases, procesos de ortogonalización, autovalores y autovectores, diagonalización y sus aplicaciones que aparecen en capítulos posteriores.

 

 

El capítulos 5 está dedicados a la teoría básica de los vectores, los espacios vectoriales y las bases. Van desde el caso más sencillo del plano, vectores en R2, pasando por el espacio, vectores en R3, hasta llegar al caso general de vectores en Rn.

 

Aquí se introducen los siguientes temas: dependencia e independencia lineal, diagonalización de matrices, transformaciones semejantes, autovalores y autovectores, transformaciones ortogonales.

 

Se presenta el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt en el contexto de la solución de sistemas de ecuaciones lineales por mínimos cuadrados. Aquí podría asignarse a un grupo de estudiantes un proyecto sobre la condición y las dificultades computacionales del proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt, elaborando y presentando una pequeña monografía con comentarios y ejemplos, sustentados en una bibliografía.

 

En cualquier caso ésta es sólo una sugerencia ya que este curso no es de métodos numéricos sino de álgebra matricial desde un punto de vista de la aritmética exacta.

 

El capítulo 6 , bajo el título “Regresión Lineal”, presenta la ecuación normal como un método de solución de problemas de aproximación por mínimos cuadrados que obvia el proceso de ortogonalización. Sin embargo se sabe que usualmente la solución de este problema por la ecuación normal lleva a un problema mal condicionado. Un proyecto al respecto puede asignarse a un grupo de estudiantes.

 

El capítulo 7 trata sobre la teoría de autovalores y autovectores y la diagonalización de matrices por medio de transformaciones semejantes. Incluye: diagonalización de matrices, diagonalización por bloques y la forma de Jordan. Estos temas tratados en profundidad, serían el corazón de un curso avanzado, especialmente si se le da una orientación hacia los métodos numéricos.

 

Aquí sólo se dan los rudimentos de lo que sería el preludio de un curso avanzado y las bases para comprender las aplicaciones que se puedan presentar en cursos específicos de la ingeniería, la física, la química, la biología, las ecuaciones diferenciales, etc.

 

Si los estudiantes fuesen de semestres superiores se les podría asignar proyectos sobre aplicaciones en estos campos o en aspectos computacionales. En cualquier caso podría asignarse pequeños proyectos monográficos sobre las dificultades de los cálculos que estuviesen acompañados de las citas a la bibliografía apropiada.

 

El Apéndice A trata sobre un tema que es ya tradicional en los cursos de álgebra lineal para las ingenierías, las ciencias económicas y administrativas y otras disciplinas: el método simplex y sus aplicaciones en la solución de problemas de programación lineal.

 

He luchado contra la tentación de incluir temas de análisis numérico, de hablar extensivamente de error por redondeo o truncamiento, de la estabilidad de los algoritmos, de la condición de los problemas. Al mantener el texto básico como un texto de matemática exacta, me propongo que pueda ser utilizado por todo tipo de instructor, formado o no en análisis numérico matricial y lo que es fundamental, que pueda ser dictado a cualquier nivel.

 

Este texto puede ser utilizado en un primer o segundo semestre ya que temas como la solución de sistemas de ecuaciones lineales, los determinantes y las matrices, que están ligados con algoritmos básicos en donde se aplican los conceptos de listas y tablas, se requieren a mas tardar en un segundo semestre. Por ello el texto no asume conocimientos de calculo diferencial o matemáticas universitarias.

 

Con las adiciones respectivas puede ser dictado en paralelo a cursos avanzados de matemáticas o física en semestres superiores,  Invitamos al instructor a complementar esta obra con compendios, ejercicios y proyectos que lo adecuen al nivel y contenido que corresponde al curso y tipo de estudiante que asiste al mismo.

 

Esta obra está dirigida primordialmente a estudiantes de Ingeniería, ciencias aplicadas, administración y economía, entre otros, mas sin embargo, no presenta a profundidad aplicaciones específicas para alguna de estas ciencias. No aparecen ni vigas, ni fuerzas, o problemas de dinámica, estática, o electricidad para ingenieros ( salvo la breve mención de la aplicación a la solución de problemas de redes eléctricas utilizando las reglas del nodo y de la malla, en el capítulo 3), ni el modelo de entrada- salida de Leontief para economistas, etc. , ya que este texto no quiere dejar de ser de matemática básica y temo que se confunda con una colección de aplicaciones que aleje a los estudiantes de la sustancia.

 

Sin embargo, la presentación por parte del instructor de aplicaciones adecuadas a la formación académica de los estudiantes, en su propia disciplina o por lo menos en relación con el currículo de su carrera es altamente deseable y por ello se anima al instructor a compendiar la obra con sus propios suplementos que añadan un sabor “personal” a su curso.

 

Como lo señalé antes, el texto en sí no quiere apartarse de un enfoque básico que sirva de esqueleto para muchos tipos de curso de acuerdo a la proyección que le dé el instructor. No se pretende por ejemplo, en el texto, discutir a profundidad sobre la conveniencia o no del método de Gauss-Jordan, o del costo del cálculo de la matriz inversa. Sin embargo el instructor podría por su cuenta introducir a los estudiantes a temas tales como el error por redondeo o truncamiento, o utilizar cálculos con calculadoras con uno o dos decimales de precisión, comparando los resultados exactos, aún de los ejemplos dados en el texto con los obtenidos en estas condiciones.

 

Algoritmos sencillos  basados en los métodos presentados por el curso podrían codificarse en un lenguaje accesible a los estudiantes para utilizarlos en matrices bien o mal condicionadas respecto al problema, sacadas de ejemplos tomados de la internet o de otros textos, aún los de la bibliografía.

 

Si los estudiantes o el instructor tiene conocimientos de Mathemática, MatLab, Mapple, Derive u otro paquete similar, se podrían presentar ejemplos suplementarios respecto a la estabilidad del algoritmo o la condición del problema. Se podría en este caso asignar proyectos de este tipo que den a los estudiantes la oportunidad de investigar y desarrollar temas de manera independiente, frente a sus compañeros.

 

El objetivo de la enseñanza, creo, es más el desarrollo de la capacidad de razonamiento independiente que el conocimiento profundo de los conceptos propios de la materia, los cuales tienden a olvidarse con el tiempo, en especial si no se aplican como sucede en la mayoría de los casos.

 

Nadie sabe cual posición le corresponderá desempeñar como profesional. Quienes se dedicarán a la utilización profesional de los conocimientos específicos de su disciplina, los llamados técnicos, serán pocos. La mayoría tendrán que desarrollar sus aptitudes en temas diversos propios de las ofertas de empleo, que no están relacionados directamente con los contenidos de la enseñanza universitaria.

 

La seguridad en si mismos, la capacidad de interactuar y comunicarse con otros, la posibilidad de liderar proyectos, la responsabilidad y en general la capacidad de razonamiento independiente que es lo que la sociedad siempre requiere depende más de su propia participación en clase, no importa que sea de ética o de matemáticas y de la capacitación que le da su participación, independientemente o en grupo, en actividades intelectuales, proyectos, etc.

 

Quien quiere superar la marca de velocidad de los 100 metros tiene que ejercitarse convenientemente, el que dirige es el instructor, mas si el corredor no se ejercita en su preparación y sólo se esfuerza el instructor no se llegará a ninguna parte. Es el ejercicio intelectual el que prepara. No basta con ver a otros ejercitarse para ganar la carrera. Por ello, no sería tan arriesgado y quizás muy gratificante, preferiblemente en acuerdo con los estudiantes, si estos sinceramente desarrollan, sin trampas, ejercicios y proyectos que influyan en su calificación.

 

Propongo, que el instructor enseñe los rudimentos del tema sólo con el fin de propiciar la participación de los estudiantes. Reconozco que en este terreno, como en toda innovación, se corren riesgos. Podría hablarse brevemente del método de Gauss, facilitar la comprensión del tema por medio de ejemplos y comentarios y asignar proyectos breves.

 

Un grupo de estudiantes podría hablar por ejemplo sobre algún método iterativo o de refinamiento como el de Gauss-Seidel, para hallar soluciones de sistemas de ecuaciones lineales, el cual no se presenta en este texto. Lo mismo sucede con temas que se encuentran en textos bien conocidos de la bibliografía que no se cubren en esta primera edición.

 

El problema del rango.

 

El rango de las matrices influye directamente sobre las aplicaciones en casi todo tipo de problemas. Si la matriz del sistema es cuadrada y de rango completo, el sistema tiene solución única. Una matriz cuadrada es regular ( inversible ) si y sólo sí es de rango completo. El número de “grados de libertad” en un sistema de ecuaciones lineales con solución es igual a  n – r, donde n es el número de incógnitas y  r  es el rango de la matriz de los coeficientes.

 

La regla de Cramer sólo es aplicable en el caso de que la matriz  cuadrada de los coeficientes sea de rango completo.

 

En muchos casos es conveniente hallar una base de un subespacio. Si se toma un conjunto v 1 , v 2 , … , v k , de vectores generadores de un subespacio, se puede lograr una base efectuando un proceso similar al de Gauss sobre las columnas de la matriz V cuyas columnas son precisamente los vectores v 1 , v 2 , … , v k  o al aplicar procesos similares al de Gauss a las filas de la matriz V T, hallando una base w 1 , w 2 , … , w r , en donde r £ k, es precisamente el rango de V.

 

La noción de rango es tan importante que podría ocupar otro capítulo con sus respectivas aplicaciones. Pese a ello aquí no se hace un estudio extensivo y completo del problema del rango, la razón: que el libro cubra diversidad de tópicos y pueda ser utilizado en cursos breves.. Esperamos los comentarios de los instructores que utilicen este texto para considerar la longitud, temas y profundidad de los capítulos, y definir apéndices para próximas ediciones.

 

Justificaciones y recomendaciones

 

Reconozco que en algunos capítulos debemos aumentar el número de ejercicios resueltos y para resolver que son necesarios no sólo para los estudiantes sino también para los evaluadores. Por ello invito a los instructores a llenar este vacío produciendo sus propios complementos de ejercicios o reproduciéndolos de otras fuentes, dándoles los respectivos créditos en su bibliografía.

 

Algunos temas de interés como la descomposición en valor singular no han sido cubiertos en esta edición. Espero incluirlos en posteriores ediciones.

 

Temas como las transformaciones lineales y expresión de las mismas en diferentes bases no han sido incluidos por varias razones.

 

  1. Al no asumir conocimientos de matemáticas universitarias, las únicas transformaciones lineales que pueden presentarse son las inducidas por la expresión T(x) =  No podemos hablar de operadores diferenciales, espacios vectoriales de polinomios o funciones, etc. Sin embargo en nuestro estudio subyace toda la teoría aplicable a transformaciones lineales sobre espacios vectoriales de dimensión finita, que es realmente el tema propio del álgebra lineal.

 

Al no poseer ejemplos diferentes no consideramos importante introducirnos en problemas teóricos de tal tipo que en el fondo, en el caso de las transformaciones lineales entre espacios vectoriales de dimensión finita, llevan a resultados equivalentes a los obtenidos en el curso y serían más una forma diferente y aparentemente mas complicada y abstracta de mirar el mismo problema.

 

  1. Razones pedagógicas: Los temas y su tratamiento se han escogido de manera que sean asequibles a estudiantes de diferentes niveles, en las ciencias aplicadas o en las carreras técnicas. En este sentido no queremos ni pretendemos competir con textos avanzados de álgebra lineal abstracta.

 

Brindamos una puerta de entrada a un primer curso, aún para estudiantes de ciencias, si el instructor adecua el rigor  matemático utilizando con cuidado términos como condición necesaria y suficiente, si…entonces, si y sólo sí, en lo cual no hemos sido demasiado rigurosos por razones didácticas.

 

Este texto nació del convencimiento, desde que dicté mi primer curso universitario en 1970 de que el estudiante debería reducir la toma de notas o apuntes en clase al mínimo.

 

El tiempo que se invierte en  copiar el texto y los gráficos que presenta el profesor en la pizarra puede ser aprovechado para una adecuada interacción entre los participantes, profesor y alumnos, aclaración de dudas, discusiones, disquisiciones, etc.

 

Por ello siempre que dicto un curso, o escojo un texto que se adecue a mis conceptos sobre la enseñanza del tema, señalando en cada clase las páginas y temas que voy a cubrir y alertando a los estudiantes cuando la variación en la presentación respecto del texto amerita que tomen notas en clase.

 

Generalmente en los primeros días la lucha es dura con aquellos estudiantes condicionados a copiar todo lo que escribe el profesor, quienes reducen muchas veces su participación en clase al ejercicio manual de la copia. En otros casos, cuando me es posible, produzco, como en el caso de este curso de álgebra lineal, mis propios textos y guías las cuales sigo con el fin de que el estudiante no pierda su tiempo tomando apuntes innecesarios en clase.

 

Espero que mis buenas intenciones al producir el texto sean apreciadas por los instructores. Sin embargo, quien garantiza la adecuada transmisión del conocimiento es el instructor, con su esfuerzo y dedicación, propiciando la evaluación continua, el ejercicio intelectual independiente o en grupos de no más de tres personas, o por otros medios que garanticen que el corredor (el estudiante) se prepare y se esfuerce practicando continuamente para obtener una buena marca en la carrera de los 100 metros (el conocimiento instrumental).

 

Por último invito a los profesores y estudiantes de pregrado y post-grado a participar como revisores y aún coautores en la próxima edición.

 

Cabudare , Septiembre de 2004